SOAL PERSAMAAN KUADRAT-LINEAR DAN KUADRAT KUADRAT

Nama: SHAQILLA ANDRIANI WIJAYA

Kelas: X IPS 2

Absen: 30

Soal Nomor 1
Penyelesaian dari sistem persamaan$$\{\begin{array}{cccc}y& =3x-5& & (\cdots 1)\\ y& =x^2-5x+7& & (\cdots 2)\end{array}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $(-2,1)$ dan $(6,13)$
B. $(-2,-1)$ dan $(6,-13)$
C. $(2,-1)$ dan $(-6,13)$
D. $(2,1)$ dan $(6,13)$
E. $(2,1)$ dan $(-6,-13)$

Pembahasan

Pertama, cari titik potong dari grafik keduapersamaan tersebut.
$$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2-5x+7& =3x-5\\ x^2-8x+12& =0\\ (x-6)(x-2)& =0\\ x=6\text{atau}x& =2\end{array}$$Substitusi nilai $x$ ke persamaan $\left(1\right)$, yaitu $y=3x-5$.
$$\begin{array}{cc}x=6& \Rightarrow y=3\left(6\right)-5=13\\ x=2& \Rightarrow y=3\left(2\right)-5=1\end{array}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $(6,13)$ dan $(2,1)$.
(Jawaban D) 

Soal Nomor 2

Himpunan penyelesaian dari SPLK $\{\begin{array}{c}x+y=0\\ x^2+y^2+8=0\end{array}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{\right(2,-2),(-2,2\left)\right\}$
B. $\left\{\right(-2,-2),(2,2\left)\right\}$
C. $\left\{\right(4,-4),(-4,4\left)\right\}$
D. $\left\{\right(2,-4),(-4,4\left)\right\}$
E. $\left\{\right(2,2),(4,4\left)\right\}$

Pembahasan

Diketahui SPLK
$$\{\begin{array}{cc}x+y=0& (\cdots 1)\\ x^2+y^2-8=0& (\cdots 2)\end{array}$$Persamaan $\left(1\right)$ dapat ditulis menjadi $y=-x$. Substitusikan pada persamaan $\left(2\right)$.
$$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2-8& =0\\ x^2+(-x{)}^2-8& =0\\ x^2+x^2& =8\\ 2x^2& =8\\ x^2& =4\\ x& =\pm 2\end{array}$$Jika $x=2$, maka diperoleh $y=-2$.
Jika $x=-2$, maka diperoleh $y=2$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\left\{\right(2,-2),(-2,2\left)\right\}$
(Jawaban A)

Soal Nomor 3
Misalkan penyelesaian SPLK $\{\begin{array}{c}x-y+1=0\\ x^2+y^2-13=0\end{array}$ adalah $(a,b)$ dan $(c,d)$. Nilai $a+b+c+d=\cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $0$                    E. $12$
B. $-2$                     D. $3$

Pembahasan

Diketahui SPLK
$$\{\begin{array}{cc}x-y+1=0& (\cdots 1)\\ x^2+y^2-13=0& (\cdots 2)\end{array}$$Persamaan $\left(1\right)$ dapat ditulis menjadi $y=x+1$. Substitusikan pada persamaan $\left(2\right)$.
$$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2-13& =0\\ x^2+(x+1{)}^2-13& =0\\ x^2+(x^2+2x+1)-13& =\\ 2x^2+2x-12& =0\\ x^2+x-6& =0\\ (x+3)(x-2)& =0\\ x=-3\text{atau}x& =2\end{array}$$Jika $x=-3$, maka diperoleh $y=-2$.
Jika $x=2$, maka diperoleh $y=3$.
Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah $(-3,-2)$ dan $(2,3)$, sehingga nilai $a+b+c+d=-3+(-2)+2+3=0$
Catatan: Karena yang ditanyakan adalah jumlah dari $a,b,c,d$, maka masing-masing nilainya tidak perlu dipermasalahkan bila ditukar-tukar, sebab hasil penjumlahannya pasti sama.
(Jawaban C)

Soal Nomor 4
Titik koordinat yang termasuk penyelesaian dari sistem persamaan $\{\begin{array}{cc}y& =2x+5\\ y& =x^2-3\end{array}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-4,13)$                       D. $(2,-1)$
B. $(-2,1)$                         E. $(4,11)$
C. $(0,-4)$

Pembahasan

Pertama, cari titik potong dari grafik keduapersamaan tersebut.
$$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2-3& =2x+5\\ x^2-2x-8& =0\\ (x-4)(x+2)& =0\\ x=4\text{atau}x& =-2\end{array}$$Substitusi masing-masing dua nilai $x$ tersebut ke persamaan $y=2x+5$, sehingga diperoleh
$$\begin{array}{cc}x=4& \Rightarrow y=2\left(4\right)+5=13\\ x=-2\Rightarrow y=2(-2)+5=1& \end{array}$$Jadi, titik potongnya adalah $(4,13)$ dan $(-2,1)$.
Titik potong adalah titik koordinat yang merupakan penyelesaian dari sistempersamaan tersebut.
(Jawaban B)

Soal Nomor 5
Penyelesaian dari sistem persamaan
$$\{\begin{array}{cc}x-y=2& (\cdots 1)\\ x^2+16y^2-24xy-16=0& (\cdots 2)\end{array}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $(6,4)$ dan $(\frac{12}{7},-\frac{2}{7})$
B. $(6,4)$ dan $(\frac{2}{7},-\frac{12}{7})$
C. $(-4,-6)$ dan $(\frac{2}{7},-\frac{12}{7})$
D. $(-4,-6)$ dan $(\frac{12}{7},-\frac{2}{7})$
E. $(-4,-6)$ dan $(6,4)$

Pembahasan

Ubah persamaan $\left(1\right)$ menjadi
$$x=2+y(\cdots 3)$$Substitusi persamaan $\left(3\right)$ pada persamaan $\left(2\right)$. Kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{x}^2+16y^2-24xy-16=0& \\ (2+y{)}^2+16y^2-24(2+y)y-16& =0\\ y^2+4y+4+16y^2-48y-24y^2-16& =0\\ -7y^2-44y-12& =0\\ 7y^2+44y+12& =0\\ (7y+2)(y+6)& =0\\ y=-\frac{2}{7}\text{atau}y& =-6\end{array}$$Substitusi nilai $y$ ke persamaan $\left(1\right)$, yaitu $x=2+y$.
$$\begin{array}{cc}y=-\frac{2}{7}& \Rightarrow x=2+-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}\\ y=-6& \Rightarrow x=2+(-6)=-4\end{array}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $(-4,-6)$ dan $(\frac{12}{7},-\frac{2}{7})$.
(Jawaban D)

6. Sumbu simetri parabola y = x² – 5x + 3 diperoleh pada garis …

A. x = 3/2

B. x = 3/2

C. x = 5/2

D. x = 5/2

E. x = 3

Jawaban : D

Pembahasan :

Karena sumbu simetri parabola pasti dilewati oleh titik puncak parabola, maka kita bisa peroleh dengan y’ = 0

Y’ = 2x – 5

0 = 2x – 5

x = 5/2

jadi sumbu simetri parabola y = x² – 5x + 3 adalah x = 5/2

7. Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = -x² – (p – 2)x + (p – 4) adalah 6. Absis titik balik maksimum adalah …

A. –4

B. –2

C. – 1/6

D. 1

E. 5

Jawaban : B

Pembahasan :

NOTE : ordinat = sumbu-y, absis = sumbu-x

Karena berbicara titik balik maksimum, maka kita manfaatkan turunan pertama yaitu y’ = 0

-2x – (p – 2) = 0

-2x = p – 2

8. Nilai minimum fungsi f(x) = x² – 5x + 4 adalah ….

A. –9/4

B. 9/4

C. 5/2

D. -5/2

E. 4

Jawaban : A

Pembahasan :

Perlu dicatat bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pasti berhubungan dengan turunan pertama yaitu f'(x) = 0

2x – 5 = 0

9. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak dititik (2, 3) dan melalui titik (-2, 1) adalah …

A. y = -1/8(x – 2)² + 3

B. y = -1/8(x – 2)² – 3

C. y = 1/8(x + 2)² – 3

D. y = 1/8(x + 2)² + 3

E. y = 1/8(x – 2)² + 3

Jawaban : A

Pembahasan :

f(x) = ax² + bx + c

f'(x) = 2ax + b

0 = 2a.2 + b

0 = 4a + b

-b = 4a … (i)

nilai fungsi pada titik puncak

f(2) = a(2)² + b.2 + c

3 = 4a + 2b + c

3 = -b + 2b + c

3 = b + c … (ii)

f(-2) = a(-2)² + b(-2) + c

1 = 4a – 2b + c

1 = -b – 2b + c

1 = -3b + c … (iii)

eliminasi persamaan (ii) dan (iii)

b + c = 3

-3b + c = 1 –

4b = 2

b = 1/2

substitusi b = 1/2 ke persamaan (ii)

1/2 + c = 3

c = 5/2

substitusi b = 1/2 ke persamaan (i)

-1/2 = 4a

a = -1/8

f(x) = (-1/8)x² + 1/2 x + 5/2

= (-1/8)x² + 4/8 x + 5/2

= -1/8(x² – 4x) + 5/2

= -1/8(x – 2)² + 4/8 + 5/2

= -1/8(x – 2)² + 4/8 + 20/8

= -1/8(x – 2)² + 3

10. Akar-akar persamaan kuadrat 2x² – 13x + 15 = 0 adalah …

A. 3/2 dan 6

B. 3/2 dan 5

C. 1 dan 6

D. 2 dan 3

E. 2 dan 3/2

Jawaban : B

Pembahasan :