FUNGSI: LINEAR, KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL, DAN GRAFIKNYA SERTA MEMBACA GRAFIKNYA

Nama: Shaqilla A. W. 

Kelas: X IPS 2

Absen: 31

Fungsi Linear

Pengertian fungsi sendiri merupakan hubungan matematis antara sebuah variabel dengan variabel lainnya. Beberapa unsur pembentuk fungsi antara lain variabel, koefisien, dan konstanta.

Fungsi linier sendiri memiliki bentuk umum sebagai berikut:

 

f : x → mx + c atau

f(x) = mx + c atau

y = mx + c

m merupakan gradien atau kemiringan atau kecondongan dan c merupakan konstanta

Fungsi linear merupakan seuah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a, b ∈ R dan a ≠ 0) untuk seluruh x dalam daerah asalnya.

Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom (sukubanyak) berderajat satu dalam variable x.

Melukis Grafik Fungsi Linier

Berikut ini adalah beberapa langkah untuk melukis grafik fungsi linier, antara lain:

• Menentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 didapatkan koordinat A( x1, 0)
• Menentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 didapatkan koordinat B( 0, y1)
• Menghubungkan dua titik A dan B sehingga akan terbentuk garis lurus Persamaan linier yang bisa juga ditulis ditulis dengan menggunakan simbol y = ax + b. (Hal ini untuk memudahkan kita dalam memahami gambar). Apabila b bernilai positif maka fungsi linier akan dilukis garis dari kiri bawah ke kanan atas
• Apabila b bernilai negatif maka fungsi linier akan digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawah.
• Apabila b bernilai nol maka fungsi linier akan digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar x.

Jika b bernilai negatif, disini kita contohkan dengan Y = 10 – 2X maka kurva akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah, berikut gambarnya:

Jika b bernilai positif : Y = 2 + 2X maka kurva akan bergerak dari arah kiri bawah ke kanan atas, beirkut ini adalah gambarnya:

Contoh soal:

sebuah fungsi dinyatakan dengan f(x) = ax + b, jika f(2) sama dengan 13, dan f(4) sama dengan 23 , maka f(10) sama dengan berapa?

jawab:
f(x) = ax + b
f(4) = 4a + b = 23
f(2) = 2a + b = 13
         ----------------- -
          2a = 10
             a = 10/2
             a = 5

2a + b = 13
2 (5) + b = 13
10 + b = 13
b = 13 - 10
b = 3

f(x) = 5x + 3
f(10) = 5(10) + 3
        = 50 + 3
        = 53

Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta 

Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:

Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi.

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat  dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.

Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi:  adalah:

Jenis grafik fungsi kuadrat lain

1. Grafik fungsi 

Jika pada fungsi  memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya:

Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh , maka grafiknya adalah:

2. Grafik fungsi 

Jika pada fungsi  memiliki nilai b = 0, maka fungsi kuadratnya sama dengan:

Pada fungsi ini grafik akan memiliki kesamaan dengan grafik fungsi kuadrat  yaitu selalu memiliki garis simetris pada x = 0. Namun, titik puncaknya sama dengan nilai c atau . Sebagai contoh  =   + 2, maka grafiknya adalah:

3. Grafik fungsi 

Grafik ini merupakan hasil perubahan bentuk dari  . Pada fungsi kuadrat ini grafik akan memiliki titik puncak (x, y) sama dengan (h, k). Hubungan antara a, b, dan c dengan h, k sebagai berikut:

Contoh soal:

Jika fungsi  mempunyai sumbu simetri x = 3, tentukan nilai maksimumnya. (UMPTN ‘00)

Pembahasan:

Sumbu simetri berada di x titik puncak, sehingga:

Sehingga fungsi y menjadi:

Nilai maksimumnya:

Fungsi Rasional

Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan fungsi yang mempunyai bentuk umum

Dengan p dan d adalah polinomial dan d(x) ≠ 0. Domain dari V(x) merupakan seluruh bilangan real, kecuali pembuat nol dari d.

Adapun fungsi rasional yang paling sederhana, yakni fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x².

Di mana keduanya mempunyai pembilang konstanta sertaa penyebut polinomial dengan satu suku. Dan kedua fungsi tersebut mempunyai domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.

Fungsi y = 1/x

Fungsi ini disebut juga sebagai fungsi kebalikan sebab setiap kita mengambil sembarang x (kecuali nol) maka akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut.

Yang artinya x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, begitu juga sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut bisa dilihat pada gambar di bawah ini.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan di atas, kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x = 0.

Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negatif merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak kdi atas sumbu-x.

Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² adalah fungsi genap.

Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, lalu pakailah grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggaplah |a| = 1.

Pembahasan dari grafik di atas, dapat kita ketahui bahwasannya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan. Serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Sehingga asimtot horizontal serta vertikal dari grafik di atas secara berturut-turut yaitu y = –1 dan x = 2. Maka dari itu, persamaan dari grafik di atas yaitu:

yang mana adalah bentuk dari pergeseran fungsi y = 1/x.

FUNGSI IRASIONAL

Pertidaksamaan irasional adalah suatu bentuk pertidaksamaan yang fungsi-fungsi pembentuknya berada dibawah tanda akar, baik fungsi pada ruas kiri, ruas kanan ataupun pada kedua ruasnya.

Untuk semesta bilangan real, pertidaksamaan irasional akan terdefinisi jika syarat akar terpenuhi yaitu fungsi yang berada dibawah tanda akar bernilai lebih dari atau sama dengan nol.

Penyelesaian dari pertidaksamaan irasional dilakukan dengan cara menguadratkan kedua ruas yang kemudian disederhanakan dengan operasi-operasi aljabar hingga diperoleh suatu interval tertentu. Solusi akhirnya adalah irisan dari syarat akar dengan interval yang telah diperoleh tadi.

Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan Irasional Beserta Solusi

1.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>k$

Untuk k ≥ 0
Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ f(x) > k²

Untuk k < 0
Solusi : f(x) ≥ 0

Contoh 1
Tentukan HP dari $\sqrt{x-2}>3$

Jawab :
x − 2 ≥ 0 ∩ x − 2 > 3²
x ≥ 2 ∩ x > 11
⇒ x > 11

HP = {x > 11}


Contoh 2
Tentukan HP dari $\sqrt{x+3}>-2$

Jawab :
x + 3 ≥ 0
⇒ x ≥ −3

HP = {x ≥ −3}


2.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<k$

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ f(x) < k²

Bentuk diatas hanya mempunyai solusi jika k > 0. Jika k ≤ 0, maka pertidaksamaan diatas tidak mempunyai solusi/penyelesaian.

Contoh 3
Tentukan HP dari $\sqrt{2x-1}<1$

Jawab :
2x − 1 ≥ 0 ∩ 2x − 1 < 1²
x ≥ $\frac{1}{2}$ ∩ x < 1
⇒ $\frac{1}{2}$ ≤ x < 1

HP = {$\frac{1}{2}$ ≤ x < 1}


3.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)$

f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) > (g(x))² ......(1)
f(x) ≥ 0 ∩ g(x) < 0 ................................(2)

Solusi : 1 ∪ 2

Contoh 4
Tentukan HP dari $\sqrt{x+2}>x$

Jawab :
x + 2 ≥ 0 ∩ x ≥ 0 ∩ x + 2 > x²
x ≥ −2 ∩ x ≥ 0 ∩ x² −x − 2 < 0
x ≥ −2 ∩ x ≥ 0 ∩ −1 < x < 2

0 ≤ x < 2 ....(1)

x + 2 ≥ 0 ∩ x < 0 
x ≥ −2 ∩ x < 0

−2 ≤ x < 0 ....(2)

1 ∪ 2 ⇒ −2 ≤ x < 2

HP = {−2 ≤ x < 2}


4.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<g\left(x\right)$

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) > 0 ∩ f(x) < (g(x))²

Contoh 5
Tentukan HP dari $\sqrt{x+5}<x-1$

Jawab :
x + 5 ≥ 0 ∩ x − 1 > 0   ∩ x + 5 < (x − 1)²
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x + 5 < x² −2x + 1
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x² − 3x − 4 > 0
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x < −1 atau x > 4
⇒ x > 4

HP = {x > 4}


5.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) > g(x)

Contoh 6
Tentukan HP dari $\sqrt{2x-4}>\sqrt{x-6}$

Jawab :
2x − 4 ≥ 0 ∩ x − 6 ≥ 0 ∩ 2x − 4 > x − 6
x ≥ 2 ∩ x ≥ 6 ∩ x > −2
⇒ x ≥ 6

HP = {x ≥ 6}


6.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)}$

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) < g(x)

Contoh 7
Tentukan HP dari $\sqrt{2x-1}<\sqrt{1+x}$

Jawab :
2x − 1 ≥ 0 ∩ 1 + x ≥ 0 ∩ 2x − 1 < 1 + x
x ≥ $\frac{1}{2}$ ∩ x ≥ −1 ∩ x < 2
⇒ $\frac{1}{2}$ ≤ x < 2

HP = {$\frac{1}{2}$ ≤ x < 2}