SOAL KONTEKSTUAL BERKAITAN DENGAN PERBANDINGAN SEGITIGA SIKU-SIKU

Soal Nomor 1
Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah $\cdots \cdot$

A. ${30}^{\circ }$                 C. ${300}^{\circ }$                     E. ${390}^{\circ }$            

B. ${60}^{\circ }$                 D. ${330}^{\circ }$                          

Pembahasan

Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni $-{30}^{\circ }$.
Karena satu putaran sama dengan ${360}^{\circ }$, maka $-{30}^{\circ }$ sama dengan $(360-30{)}^{\circ }={330}^{\circ }$
Jadi, besar sudutnya adalah ${330}^{\circ }$
(Jawaban D)

Soal Nomor 2
Perhatikan gambar di bawah.

Segitiga $ABC$ siku-siku di . Pernyataan berikut ini benar, kecuali $\cdots \cdot$
A. $\sin \alpha =\frac{BC}{AB}$                D. $\cos \beta =\frac{BC}{AC}$
B. $\sin \beta =\frac{AC}{AB}$                 E. $\tan \alpha =\frac{BC}{AC}$
C. $\cos \alpha =\frac{AC}{AB}$

Pembahasan

Berdasarkan gambar di atas, perbandingan trigonometri untuk sinus, cosinus, dan tangen dari sudut  dan  adalah sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}\sin \alpha & =\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{BC}{AB}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{}{}\\ \cos \alpha & =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}=\frac{AC}{AB}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{}{}\\ \tan \alpha & =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{BC}{AC}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{}{}\\ \sin \beta & =\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{AC}{AB}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{}{}\\ \cos \beta & =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}=\frac{BC}{AB}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{}{}\\ \tan \beta & =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{AC}{BC}\end{array}$
Jadi, dari kelima pernyataan (pilihan) yang diberikan, pernyataan yang salah ada pada pilihan jawaban D.

Nomor 3
Perhatikan gambar berikut!

Nilai $\cos \alpha$ adalah $\cdots \cdot$
A. 1                         C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$                  E. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
B. $\sqrt{3}$                     D. $\frac{1}{2}$      

Pembahasan

Dengan Teorema Pythagoras, panjang $c=AB$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$
Cosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos \alpha =\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$
(Jawaban D)

Soal Nomor 4
Diketahui $△ABC$ siku-siku di $B$. Jika $\cos A=\frac{3}{4}$, nilai $\cot A=\cdots \cdot$
A. $\sqrt{7}$                                 D. $\frac{3}{4}\sqrt{7}$
B. $\frac{3}{7}\sqrt{7}$                             E. $\frac{4}{3}\sqrt{7}$
C. $\frac{4}{7}\sqrt{7}$

Pembahasan

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos A=\frac{3}{4}=\frac{AB}{AC}$
Misalkan $AB=3$ dan $AC=4$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{cc}BC& =\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}\\ & =\sqrt{(4{)}^2-(3{)}^2}=\sqrt{7}\end{array}$
Cotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cot A=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3}{7}\sqrt{7}$
Jadi, nilai $\cot A=\frac{3}{7}\sqrt{7}$
(Jawaban B)

Soal Nomor 5
Diketahui $△ABC$ siku-siku di $C$. Jika $\sin B=p$, maka nilai $\tan B=\cdots \cdot$
A. $\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}$                              D. $\frac{p}{\sqrt{p^2-1}}$
B. $\frac{1}{\sqrt{1-p^2}}$                              E. $\frac{\sqrt{1-p^2}}{p}$
C. $\frac{1}{\sqrt{p^2-1}}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar segitiga siku-siku $ABC$ berikut.

Karena $\sin B=p=\frac{p}{1}=\frac{AC}{AB}$$\sin B=p={\displaystyle \frac{p}{1}}={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$, maka dapat dimisalkan bahwa $AC=p$ dan $AB=1$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh

$\begin{array}{cc}BC& =\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}\\ & =\sqrt{(1{)}^2-p^2}\\ & =\sqrt{1-p^2}\end{array}$
Dengan demikian,
$\tan B=\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{AC}{BC}=\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}$
Jadi, nilai $\tan B=\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}$
(Jawaban A)

Soal Nomor 6
Perhatikan $△KLM$ di bawah!

Jika $\cos K=\frac{1}{a}$, maka nilai $\sin K\tan K=\cdots \cdot$
A. $\frac{a^2+1}{a}$                             D. $\frac{a}{a^2+1}$
B. $\frac{a^2-1}{a}$                              E. $\frac{a^2-1}{a^2+1}$
C. $\frac{a}{a^2-1}$

Pembahasan

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos K=\frac{1}{a}=\frac{KL}{KM}$
Misalkan $KL=1$ dan $KM=a$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{cc}LM& =\sqrt{K{M}^2-K{L}^2}\\ & =\sqrt{a^2-(1{)}^2}=\sqrt{a^2-1}\end{array}$
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku, sedangkan tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\begin{array}{cc}\sin K\tan K& =\frac{LM}{KM}\times \frac{LM}{KL}\\ & =\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}\times \frac{\sqrt{a^2-1}}{1}\\ & =\frac{a^2-1}{a}\end{array}$
Jadi, nilai $\sin K\tan K=\frac{a^2-1}{a}$
(Jawaban B)

Soal Nomor 7
Jika $\tan \alpha =\frac{1}{a}$ dengan $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$, maka nilai dari $\cos \alpha -\frac{1}{\sin \alpha }$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\frac{a^2+a+1}{\sqrt{1+a^2}}$                       D. $\frac{a^2-a-1}{\sqrt{1+a^2}}$
B. $\frac{a^2+a-1}{\sqrt{1+a^2}}$                        E. $\frac{-a^2+a-1}{\sqrt{1+a^2}}$
C. $\frac{a^2-a+1}{\sqrt{1+a^2}}$

Pembahasan

Karena $\alpha$ berada di kuadran I, maka semua nilai perbandingan trigonometri bertanda positif.
Diketahui bahwa $\tan \alpha =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{1}{a}$, sehingga dapat dimisalkan bahwa panjang sisi depan sudut $\text{de}=1$ dan panjang sisi samping sudut $\text{sa}=a$.
Dengan demikian, panjang sisi miring (hipotenusa) pada segitiga siku-siku adalah
$\begin{array}{cc}\text{mi}& =\sqrt{(\text{de}{)}^2+(\text{sa}{)}^2}\\ & =\sqrt{1^2+a^2}\end{array}$
Untuk itu, didapat
$\begin{array}{cc}\cos \alpha -\frac{1}{\sin \alpha }& =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}-\frac{\text{mi}}{\text{de}}\\ & =\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}-\frac{\sqrt{1+a^2}}{1}\\ & =\frac{a-(a^2+1)}{\sqrt{a^2+1}}\\ & =\frac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}\end{array}$
Jadi, nilai dari $\cos \alpha -\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}$
(Jawaban E)

Soal Nomor 8
Sesuai dengan gambar di bawah, nilai perbandingan ${\sin }^2\theta$ adalah $\cdots \cdot$

A. $\frac{a^2-d^2}{f^2+g^2}$                          D. $\frac{a^2+b^2}{f^2-g^2}$
B. $\frac{a^2+b^2}{f^2+g^2}$                          E. $\frac{a^2-b^2}{f^2+g^2}$
C. $\frac{a^2-b^2}{f^2-g^2}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh dua persamaan berikut.
$\{\begin{array}{cc}{c}^2& =a^2-b^2\\ e^2& =f^2+g^2\end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
${\sin }^2\theta =\frac{c^2}{e^2}=\frac{a^2-b^2}{f^2+g^2}$
(Jawaban E)

Soal Nomor 9
Jika $\tan x=-\frac{2}{3}$, maka nilai dari $\frac{5\sin x+6\cos x}{2\cos x-3\sin x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\frac{7}{6}$                     C. $\frac{1}{3}$                     E. $\frac{7}{6}$
B. $-\frac{2}{3}$                     D. $\frac{2}{3}$            

Pembahasan

Untuk mendapatkan bentuk $\tan x$, harus diperhatikan bahwa $\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$, sehingga kita perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan $\cos x$.
$\begin{array}{cc}\frac{5\sin x+6\cos x}{2\cos x-3\sin x}& =\frac{\frac{5\sin x}{\cos x}+\frac{6\cos x}{\cos x}}{\frac{2\cos x}{\cos x}-\frac{3\sin x}{\cos x}}\\ & =\frac{5\tan x+6}{2-3\tan x}\\ & =\frac{5(-\frac{2}{3})+6}{2-3(-\frac{2}{3})}\\ & =\frac{\frac{8}{3}}{4}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\end{array}$
Jadi, nilai dari $\frac{5\sin x+6\cos x}{2\cos x-3\sin x}=\frac{2}{3}$
(Jawaban D)

Soal Nomor 10
Dalam segitiga siku-siku $ABC$ di bawah, panjang $BC=a$ dan besar $\angle ABC=\beta$. Panjang garis tinggi $AD=\cdots \cdot$

A. ${\sin }^2\beta \cos \beta$              D. $a\sin \beta {\cos }^2\beta$
B. $a\sin \beta \cos \beta$             E. $a\sin \beta$
C. $a{\sin }^2\beta$

Pembahasan

Perhatikan segitiga siku-siku $ABC$.
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri cosinus, berlaku
$\begin{array}{cc}\cos \beta & =\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{a}\\ AB& =a\cos \beta \end{array}$
Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku $ABD$ (siku-siku di $D$).
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri sinus, berlaku
$\begin{array}{cc}\sin \beta & =\frac{AD}{AB}\\ AD& =AB\sin \beta \\ AD& =\left(a\cos \beta \right)\sin \beta =a\sin \beta \cos \beta \end{array}$
Jadi, panjang garis tinggi $AD=a\sin \beta \cos \beta$
(Jawaban B)

Soal Nomor 11
Perhatikan gambar di bawah!

Segiempat $ABCD$ siku-siku di $A$ dan $C$. Diketahui besar $\angle ABD=\alpha ,\angle CBD=\beta$, dan panjang $AD=p$. Panjang sisi $BC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $p\sin \alpha \cos \beta$                      D. $\frac{p\cos \beta }{\sin \alpha }$
B. $p\cos \alpha \sin \beta$                      E. $\frac{p\sin \beta }{\sin \alpha }$
C. $\frac{p\sin \alpha }{\cos \beta }$

Pembahasan

Perhatikan segitiga siku-siku $ABD$.
Nilai sinus sudut alfa diberikan oleh
$\sin \alpha =\frac{AD}{BD}\iff BD=\frac{AD}{\sin \alpha }=\frac{p}{\sin \alpha }$
Perhatikan segitiga siku-siku $BCD$.
Nilai cosinus sudut beta diberikan oleh
$\begin{array}{cc}\cos \beta & =\frac{BC}{BD}\\ BC& =\cos \beta \cdot BD\\ BC& =\cos \beta \cdot \frac{p}{\sin \alpha }=\frac{p\cos \beta }{\sin \alpha }\end{array}$
Jadi, panjang sisi $BC=\frac{p\cos \beta }{\sin \alpha }$
(Jawaban D)

Soal nomor 12

Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B = 12/13 maka sin C = ...

a.    20/65
b.    36/65
c.    56/65
d.    60/65
e.    63/65
Pembahasan:
Jika cos A = 4/5, maka: sin A = 3/5 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini:
(ingat ya, bahwa cos itu samping/miring dan sin itu depan/miring)

Jika sin B = 12/13 maka cos B = 5/13 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini:

Maka, sin C = sin A . cos B + sin B . cos A
                    = 3/5 . 5/13 + 12/13 . 4/5
                    = 15/65 + 48/65
                    = 63/65
Jawaban: E

Soal nomor 13

  Nilai dari   = ...
a.    -2 - √3
b.    -1
c.    2 - √3
d.    1
e.    2 + √3
Pembahasan:


Jawaban: B

Soal nomor 14

Diketahui sin A = 12/13 dan cos B = 3/5, <A dan <B lancip. Nilai tan (A – B) = ...
a.    36/63
b.    26/63
c.    16/63
d.    6/33
e.    1/33
Pembahasan:
Sin A = 12/13, maka cos A = 5/13 (carilah dengan segitiga siku-siku seperti soal nomor 1)
Cos B = 3/5, maka sin B = 4/5 (carilah dengan segitiga siku-siku seperti soal nomor 1)

Jawaban: C

Soal nomor 15

  Jika  maka sudut x adalah ...

Pembahasan:
Sebelumnya perlu diingat dulu identitas trigonometri berupa:

Jawaban: D

                     Daftar Pustaka

Shaqilla, Andriani Wijaya. 2021. Soal kontekstual Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Sumber: mathcyber199.Com.